Question

已知F、E分別是拋物線(xiàn)Y²=4x的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，M是曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|

ME

|+|

MF

|=4．
（I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)（

3

2

，0）作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)．設(shè)

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線(xiàn)L，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線(xiàn)L的方程，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意知，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，軌跡C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4，2c=2，由此能求出軌跡C的方程．
（II）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（

3

2

，0），當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，其方程為x=

3

2

，此時(shí)l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，由

OA

•

OB

≠0，OA與OB不垂直，故不存在這樣的直線(xiàn)L．

解答：解：（I）由題意知，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，
又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，
∴軌跡C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，b²=3，
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，
∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（

3

2

，0），當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，其方程為x=

3

2

，
此時(shí)l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，∴

OA

•

OB

≠0，
∴OA與OB不垂直，∴x=

3

2

不合題意．
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x-

3

2

），A（x₁，y₁），B坐標(biāo)為（x₂，y₂）；
聯(lián)立y=k（x-

3

2

）與

x2

4

+

y2

3

=1可得，

x2

4

+

k2(x- 3 2 )2

3

=1，
若四邊形OAPB是矩形，必有x₁x₂+y₁y₂=0，
易得不存在k的值滿(mǎn)足，
故不存在這樣的直線(xiàn)L．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn) 和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．