Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=A,BC=2B.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處.

（1）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

（2）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：由題設(shè)可知A>B>0,記h=,設(shè)P的坐標(biāo)為（0,y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方為 f(y)=2(B2+y2)+（h－y）2 =3(y－)2+h2+2B2. 所以，當(dāng)y=時(shí)，函數(shù)f(y)取得最小值. 答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）. （2）P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由≥|h－y|解得y≥，記y*=,于是 當(dāng)y*≥0,即h≥B時(shí)，z=g(y)的圖象如圖（A），因此，當(dāng)y=y*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值. 當(dāng)y*<0，即h<B時(shí)，z=g(y)的圖象如圖（B），因此，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.   答：當(dāng)h≥B時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）； 當(dāng)h<B時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0）.其中h=. 解法三：因?yàn)樵凇?i style='mso-bidi-font-style:normal'>ABC中，AB=AC=A,所以△ABC的外心M在射線AO上，其坐標(biāo)為（0, ）， 且AM=BC=CM. 當(dāng)P在射線MA上，記P為P1； 當(dāng)P在射線MA的反向延長線上，記P為P2.若h=≥B（如圖C），則點(diǎn)M在線段AO上.這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A，且P1C≥MA， 所以點(diǎn)P與外心M重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小. 若h=<B（如圖d），則點(diǎn)M在線段AO外. 這時(shí)P到A、B、C、三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以點(diǎn)P與BC邊中點(diǎn)O重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小. 答：當(dāng)≥B時(shí)，點(diǎn)P的位置在△ABC的外心（0, ）;