Question

5．定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2-x），f'（x）（x-1）＞0，則對(duì)任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 充要條件
• C． 必要不充分條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由f（x）=f（2-x），得函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，
由f'（x）（x-1）＞0得，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
若x₁＜x₂，當(dāng)x₂≤1，函數(shù)為減函數(shù)，滿足對(duì)任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），
此時(shí)x₁+x₂＜2，
若x₂＞1，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，則f（x₂）=f（2-x₂），
則2-x₂＜1，
則由f（x₁）＞f（x₂）得f（x₁）＞f（x₂）=f（2-x₂），
此時(shí)函數(shù)在x＜1時(shí)為減函數(shù)，
則x₁＜2-x₂，即x₁+x₂＜2，
即對(duì)任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）得x₁+x₂＜2，
反之也成立，
即對(duì)任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的充要條件，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系，利用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．