Question

設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓的長軸長為4，且點在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP與橢圓相交于異于A的點M，證明：△MBP為鈍角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：2a=4，所以a=2，所求橢圓方程為；
又點在橢圓上，∴=1，∴b²=1；
故所求橢圓方程為：．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（4，t），M（x_M，y_M），
則直線PA的方程為：，（t≠0）；
由得 （9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0；
因為直線PA與橢圓相交于異于A的點M，所以，所以；
由，得，所以；
從而，；所以=．
又M，B，P三點不共線，所以∠MBP為鈍角；所以△MBP為鈍角三角形．
分析：（Ⅰ）由橢圓的長軸長為4，得2a=4，即得a=2；又點在橢圓上，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可得b；從而得出方程．
（Ⅱ）設(shè)P（4，t）其中t≠0，直線AP與橢圓交于點M（異于A），由直線方程與橢圓方程組成方程組，得出點M的坐標(biāo)；
由B，P，M三點坐標(biāo)，得向量，，，由•＜0，知∠MBP是鈍角；從而得出證明．
點評：本題（Ⅰ）考查了橢圓的基礎(chǔ)知識，（Ⅱ）借助于求直線與橢圓相交時的交點，利用向量的數(shù)量積，來判斷三角形的形狀；要求有較高的計算能力，是中檔題．