Question

已知橢圓的方程+=1，橢圓的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是其上的動點，當△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時，內切圓圓心的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：當△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時即內切圓半徑最大即Q點的縱坐標的絕對值最大，因此利用=可得|y|=|y_p|而|y_p|從而可求出Q點的縱坐標的絕對值的最大值，再結合此時p點的特殊位置求橫坐標x
解答：解：如圖設內切圓圓心的坐標為Q（x，y）
∵橢圓的方程+=1
∴a²=4，b²=3
∴c²=1，a=2，c=1，pF₁+PF₂=2a=4，F(xiàn)₁F₂=2C=2
又∵=
∴×F₁F₂×|y_p|=（pF₁+pF₂+F₁F₂）×|y|
∴|y|=|y_p|．．
又∵|y_p|
∴|y|此時p點在橢圓與y軸相交的兩個頂點上故x=0同時內切圓面積為πy²
∴Q（，0）
故答案為（，0）
點評：此題主要考查了橢圓與圓的綜合問題．關鍵是要分析出△PF₁F₂內切圓的面積取最大值時即內切圓半徑最大即Q點的縱坐標的絕對值最大同時還要利用面積分割得到關系式|y|=|y_p|再利用|y_p|求得Q點的縱坐標的絕對值的最大值．此題另一關鍵是要得出當內切圓面積最大時p點落在橢圓與Y軸的交點上此時x=0．此題充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想在解題中得應用！