Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cosx+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[-，]上的最大值與最小值之和為，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的飯，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值及最小值，讓其和等于列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cosx+a
=sinxcos+cosxsin+sinxcos-cosxsin+cosx+a
=sinx+cosx+a=2（sinx+cosx）+a=2sin（x+）+a，（4分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴-≤x+≤，
∴當x+=-，即x=-時，f（x）的最小值=f（-）=-+a，（8分）
當x+=，即x=時，f（x）的最大值=f（）=2+a，（10分）
由題意，有（-+a）+（2+a）=，
∴a=-1．（12分）
點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期及其求法，以及三角函數(shù)的最值．熟練運用三角函數(shù)的恒等變換公式把f（x）化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．