Question

設數列{a_n}，{b_n}的各項均為正數，若對任意的正整數n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，且b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列．
（Ⅰ）求證數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=，比較2ⁿ與2a_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用已知條件可得數列{b_n}與{a_n}的遞推關系，代入2b_n²=a_n+a_n+1整理，然后利用等差中項的證明數列{b_n}為等差數列
（Ⅱ）結合（1）求出數列{b_n}的公差d，進一步求得b_n，然后利用遞推公式a_n=b_n-1．b_n求出a_n，通過n的特殊值猜想2ⁿ與2a_n之間的大小關系，利用數學歸納法進行證明
解答：解：（Ⅰ）由題意，得2b_n²=a_n+a_n+1，①
a_n+1²=b_n²b_n+1²，②（1分）
因為a_n＞0，b_n＞0，所以由式②得a_n+1=b_nb_n+1，
從而當n≥2時，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，（3分）
故當n≥2時，2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
∴數列b_n是等差數列．（4分）
（II）由及式①、②易得，
因此b_n 的公差  ，
從而，（5分）
得，
所以當n≥2時，，③
又a₁=1也適合式③，
∴．（6分）
設P=2ⁿ，Q=2n-n（n+1），
當n=1時，P=Q，當n=2，3，4時，P＜Q
當n=5時，P＞Q，當n=6時，P＞Q
由此猜想當n≥5時，P＞Q（8分）
以下用數學歸納法證明．
（1）當N=5時，P＞Q顯然成立，（9分）
（2）假設當n=k（k≥5）時，
P＞Q成立，即2ⁿ＞k（k+1）-k²+k成立，
則當n=k+1時，P=2^K+1=2•2^k＞2k²+2k
=（k²+2k+1）+（k+1）+（k²-k-2）=（k+1）²+（k+1）+（k+1）（k-2）
∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2^k+1＞（k+1）²+（k+1）成立．
故當n=k+1時，P＞Q成立．
由（1）、（2）得，當n≥5時，
P＞Q成立．（11分）
因此，當n=1時，2ⁿ=2a_n，
當n=2，3，4時，2ⁿ＜2a_n，
當n≥5時，2ⁿ＞2a_n．（12分）
點評：（1）利用遞推公式進行構造，等差中項證明數列為等差數列：2a_n=a_n-1+a_n+1?數列{a_n}為等差數列
（2）利用數學歸納法證明數學命題或不等式時，要注意由歸納假設n=k成立推到n=k+1是數學歸納法的關鍵．