7．已知函數(shù)f（x）=2mx3-3nx2+10（m，n＞0）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則5lg2m+9lg2n的最小值是（　�。�
A．6B．$\frac{13}{9}$C．1D．$\frac{5}{9}$

分析 由題意可得函數(shù)的極大值或極小值等于0，求得m、n的關(guān)系，再取對(duì)數(shù)得lgn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，即可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值解得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m，n＞0）
∴f′（x）=6mx2-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=$\frac{n}{m}$，
∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，又f（0）=10，
∴f（$\frac{n}{m}$）=0，即2m•（$\frac{n}{m}$）3-3n•（$\frac{n}{m}$）2+10=0，整理得n3=10m2，
兩邊取對(duì)數(shù)得3lgn=1+2lgm，
∴l(xiāng)gn=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm，
∴5lg2m+9lg2n=5lg2m+9（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$lgm）2=9lg2m+4lgm+1=9（lgm+$\frac{2}{9}$）2+$\frac{5}{9}$，
∴當(dāng)lgm=-$\frac{2}{9}$時(shí)，5lg2m+9lg2n有最小值為$\frac{5}{9}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值知識(shí)，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（cosα，sinα）（α∈R），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的取值范圍是（　�。�
A．[0，$\frac{π}{4}$]B．[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]C．[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]D．[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B，且3$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$=$\overrightarrow{0}$，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．若x，y滿足方程x2+（y-1）2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
若x，y滿足方程x2+（y-1）2=1，x+y+c=0，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BD}$，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），則λ+3μ的最小值是3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x-1，a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求a的取值范圍；
（3）若存在x0，使得x0既是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，又是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，請(qǐng)寫出此時(shí)a的值．（只需寫出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知圓M（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）過點(diǎn)T（-3，-3），圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的圓為圓C，設(shè)P點(diǎn)為T點(diǎn)關(guān)于x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求圓C方程；
（2）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB分別與x軸的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若△PEF是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．在梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，若$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{AN}$，則λ+μ=（　　）
A．$\frac{1}{5}$B．$\frac{4}{5}$C．$\frac{4}{7}$D．$\frac{6}{7}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．已知函數(shù)f（x）=2x3-$\frac{1}{2}a$x2+ax+1在（0，+∞）有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．

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