Question

已知圓C1：x2+y2=1，橢圓C2：

x2

3

+

2y2

3

=1，四邊形PQRS為橢圓C₂的內接菱形．
（1）若點P(-

6

2

，  

3

2

)，試探求點S（在第一象限的內）的坐標；
（2）若點P為橢圓上任意一點，試探討菱形PQRS與圓C₁的位置關系．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓和菱形的對稱性及直線與橢圓的方程聯(lián)立即可解出；
（2）利用菱形的對角線的性質、直線與橢圓相交的解法、根與系數(shù)的關系、直線與圓的位置關系的判定方法即可得出．

解答：解：（1）利用橢圓和菱形的對稱性可知：點R與P關于原點O對稱，點S與Q關于原點OD對稱，
∴k_OPk_OS=-1，而k_OP=

3 2

- 6 2

=-

2

2

，∴k_OS=

2

．
∴直線SO的方程為y=

2

x，
聯(lián)立

y= 2 x x2 3 + 2y2 3 =1

，及x＞0，解得

x= 15 5 y= 30 5

，
∴S(

15

5

，

30

5

)．
（2）設P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
①當直線PS的斜率存在時，設直線PS的方程為：y=kx+t，
聯(lián)立

y=kx+t x2+2y2=3

消去y得到關于x的一元二次方程：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-3=0，
∵直線與橢圓相交于不同的兩點，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-3）＞0，即3+6k²＞2t²．（*）
∴x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-3

1+2k2

．
∵OP⊥OS，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
整理為(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
代入得(1+k2)×

2t2-3

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，
化為t²=k²+1，滿足（*）式．
∴原點到直線的距離d=

|t|

1+k2

=1，
∴菱形PQRS與 圓C₁相切．
②當直線PS的斜率不存在時，上述結論也成立．
綜上可得：點P為橢圓上任意一點，試探討菱形PQRS與 圓C₁的位置關系是相切．

點評：熟練掌握橢圓和菱形的對稱性、菱形的對角線的性質、直線與橢圓相交的解法、根與系數(shù)的關系、直線與圓的位置關系的判定方法是解題的關鍵．