20.已知0≤φ<π,函數(shù)$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos(2x+φ)+{sin^2}x$.
(Ⅰ)若$φ=\frac{π}{6}$,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)的最大值是$\frac{3}{2}$,求φ的值.

分析 (Ⅰ)利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
(Ⅱ)利用函數(shù)f(x)的最大值為$\frac{3}{2}$,通過求解方程求解即可.

解答 (本小題滿分14分)
(Ⅰ)由題意$f(x)=\frac{1}{4}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{2}$…(3分)
=$\frac{1}{2}cos(2x+\frac{π}{3})+\frac{1}{2}$…(5分)
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$,得$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}$.
所以單調(diào)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{2π}{3},kπ-\frac{π}{6}]$,k∈Z.…(8分)
(Ⅱ)由題意$f(x)=(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2})cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφsin2x+\frac{1}{2}$,…(10分)
由于函數(shù)f(x)的最大值為$\frac{3}{2}$,即${(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2})^2}+{(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφ)^2}=1$,…(12分)
從而cosφ=0,又0≤φ<π,故$φ=\frac{π}{2}$.                         …(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

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