Question

（2011•深圳二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直，如圖2．

（1）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（2）求平面ABCD與平面EFB所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明平面BDE⊥平面BEC，只需證明BC⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（2）過E作EG⊥BC，連接DG，則∠EGD為平面ABCD與平面EFB所成角，利用三角函數(shù)可得結論．

解答：（1）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．
因為BC?平面BEC，所以平面BDE⊥平面BEC；
（2）解：過E作EG⊥BC，連接DG，則
∵AB⊥AD，沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直，
∴ED⊥平面ABCD
∴∠EGD為平面ABCD與平面EFB所成角
∵AB=AD=

1

2

CD=1
∴DG=

2

，ED=1
∴tan∠EGD=

1

2

=

2

2

∴∠EGD=arctan

2

2

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．