Question

（全國(guó)Ⅱ卷理19文20）如圖，正四棱柱中，

，點(diǎn)在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

Answer 1

解法一：依題設(shè)知，．

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．

由三垂線(xiàn)定理知，．       3分

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余．于是．

與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，

所以平面．    6分

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線(xiàn)定理知，

故是二面角的平面角．  8分

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．    12分

解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

依題設(shè)，．

，

．   3分

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，，

故，．又，

所以平面．    6分

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則，．

故，．

令，則，，．      9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．   12分