Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x^α+1（α∈Q）的定義域?yàn)閇-b，-a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為

-5或9

．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）=x^α+1得f（x）-1=x^α，由題意知函數(shù)y=x^α，或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，再根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象特征，利用函數(shù)y=x^α在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，根據(jù)圖象的對(duì)稱性可得y=x^α在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的情況，從而得出答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x^α+1∴f（x）-1=x^α，
由題意知函數(shù)y=x^α，或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，
①當(dāng)函數(shù)y=f（x）-1=x^α，是奇函數(shù)時(shí)，
∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，
∴函數(shù)f（x）-1在區(qū)間[a，b]上的最大值為5，最小值為2，
由對(duì)稱性知：
函數(shù)f（x）-1在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-2，最小值為-5，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-1，最小值為-4，
則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為-5；
②當(dāng)函數(shù)y=f（x）-1=x^α，是偶函數(shù)時(shí)，
∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，
∴函數(shù)f（x）-1在區(qū)間[a，b]上的最大值為5，最小值為2，
由對(duì)稱性知：
函數(shù)f（x）-1在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為5，最小值為2，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為6，最小值為3，
則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為9；
故答案為：-5或9．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的最值及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．