【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為，.已知點在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由M到兩焦點距離之和為4可得a，再將M代入方程可得b即可得到橢圓方程；

（2）由已知可設(shè)AB的方程為，，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，以及m的范圍，將其代入中計算即可得到答案.

解：（1）∵橢圓的左、右焦點分別為，.

點在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4，

∴，，∴橢圓方程為，

把點代入，得，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）∵，

與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），

∴設(shè)AB的方程為，

聯(lián)立，消去y，得：，

，

解得，∴，

設(shè)，，則，，

∴

，

∴求的取值范圍是.

【點晴】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到向量的數(shù)量積的運算，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)綜》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)四升五，上梢四節(jié)三升八，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量．)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得中間兩節(jié)竹的容積為

A. 2.2升B. 2.3升

C. 2.4升D. 2.5升

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．

（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年初，由于疫情影響，開學(xué)延遲，為了不影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，國務(wù)院、省市區(qū)教育行政部門倡導(dǎo)各校開展“停學(xué)不停課、停學(xué)不停教”，某校語文學(xué)科安排學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容包含老師推送文本資料學(xué)習(xí)和視頻資料學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影響已知其積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文本資料積1分，每日上限積5分;觀看視頻1個積2分，每日上限積6分．經(jīng)過抽樣統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，文本資料學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示，視頻資料學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示．

表1

文本學(xué)習(xí)積分

1

2

3

4

5

概率

表2

視頻學(xué)習(xí)積分

2

4

6

概率

（1）現(xiàn)隨機抽取1人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率；

（2）現(xiàn)隨機抽取3人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.

（1）求和的表達式；

（2）判斷并證明的單調(diào)性；

（3）若存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知曲線C的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線E，直線（t為參數(shù)）與曲線E交于A，B兩點．

（1）設(shè)曲線C上任一點為，求的最小值；

（2）求出曲線E的直角坐標方程，并求出直線l被曲線E截得的弦AB長．

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【題目】在疫情這一特殊時期，教育行政部門部署了“停課不停學(xué)”的行動，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進行了摸底考試，某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成績與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高三學(xué)生隨機抽取45名進行調(diào)查.知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長是不超過1小時的，得到了如下的等高條形圖：

（Ⅰ）是否有的把握認為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其在線學(xué)習(xí)時長有關(guān)”；

（Ⅱ）將頻率視為概率，從全校高三學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中隨機抽取10人，求抽取的10人中每天在線學(xué)習(xí)時長超過1小時的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文數(shù)中任取兩個數(shù)，則兩個回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于3的概率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；

(2)若，證明 .

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