Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=13．
（1）求等差數(shù)列的通項公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

2

n(an+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）令c_n=（n+1）S_n•3ⁿ，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由已知列方程組求解首項和公差，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（2）把a_n代入b_n=

2

n(an+1)

，整理后利用裂項相消法求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）把（2）中求得的S_n代入c_n=（n+1）S_n•3ⁿ，整理后利用錯位相減法數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

a2=5 a6=13

，得

a1+d=5 a1+5d=13

，解得

a1=3 d=2

．
∴等差數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）∵a_n=2n+1，
∴bn=

2

n(an+1)

=

2

n(2n+1+1)

=

2

n(2n+2)

=

1

n(n+1)

=(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）∵c_n=（n+1）Sn•3n
=(n+1)•

n

(n+1)

3n=n•3n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ ①
∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n+n×3n+1    ②
①-②得：Tn-3Tn=1×31+1×32+1×33+…+1×3n-n×3n+1，
即-2Tn=31+32+33+…+3n-n×3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1，
∴Tn=

1

4

(2n-1)•3n+1+

3

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式得求法，考查了裂項相消法和錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．