Question

（2013•杭州一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)到直線l₁：3x+4y=0的距離為

3

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l₂：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)恰好在直線l₁上，求△OAB的面積S的最大值．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)到直線的距離公式可得

3c

32+42

=

3

5

，得c值，由離心率可得a值，再由b²=a²-c²可得b值；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線l₂：y=kx+m代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1得到：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入l₂得縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)在直線l₁上可求得k值，用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)O到AB的距離為d，弦長(zhǎng)公式求得|AB|，由三角形面積公式可表示出S_△OAB，變形后用不等式即可求得其最大值；

解答：解：（Ⅰ）由右焦點(diǎn)到直線l₁：3x+4y=0的距離為

3

5

，得

3c

32+42

=

3

5

，解得c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線l₂：y=kx+m代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1得到：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
因此x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，
所以AB中點(diǎn)M（

-4km

4k2+3

，

3m

4k2+3

），
又M在直線l₁上，得3×

-4km

4k2+3

+4×

3m

4k2+3

=0，
因?yàn)閙≠0，所以k=1，故x1+x2=

-8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

，
所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-m2

，
原點(diǎn)O到AB的距離為d=

|m|

2

，
得到S=

2 3

7

m2(7-m2)

≤

2 3

7

×

m2+(7-m2)

2

=

3

，當(dāng)且僅當(dāng)m²=

7

2

取到等號(hào)，檢驗(yàn)△＞0成立．
所以△OAB的面積S的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及用不等式求函數(shù)最值，考查函數(shù)思想．