Question

已知：△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同側(cè)，M為EA的中點(diǎn)，CE=CA=2BD．求證：

(1)DE=DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

(提示：取AC中點(diǎn)N，連接MN，BN)

Answer 1

答案：
解析：

1．證明：(1)取AC中點(diǎn)N，連接MN，BN． 因?yàn)椤?/FONT>ABC為正三角形，所以BN⊥AC． 又由于EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，所以EC∥BD，EC⊥BN． 又M為AE中點(diǎn)，EC=2BD，所以MNBD． 所以四邊形MNBD是平行四邊形． 由BN⊥AC，EC⊥BN，得BN⊥平面AEC，所以DM⊥平面AEC． 則DM⊥AE．從而AD=DE． (2)因?yàn)?/FONT>DM⊥平面AEC，DM平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA． (3)因?yàn)?/FONT>DM⊥平面AEC，DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．