Question

3．已知集合A={x|x²-2x+2a-a²≤0}，B={x|sin（πx-$\frac{π}{3}}$）+$\sqrt{3}$cos（πx-$\frac{π}{3}}$）=0}．
（1）若2∈A，求a的取值范圍；
（2）若A∩B恰有3個(gè)元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)2∈A，代入A中不等式求出a的取值范圍；
（2）利用因式分解法確定集合A的兩個(gè)端點(diǎn)，由兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡B，根據(jù)條件對a分類討論，分別由條件列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可．

解答 解：（1）∵集合A={x|x²-2x+2a-a²≤0}，且2∈A，
∴4-4+2a-a²≤0，化簡得，a²-2a≥0，
解得a≤0或a≥2，
∴a的取值范圍是{a|a≤0或a≥2}；
（2）∵A={x|x²-2x+2a-a²≤0}={x|（x-a）[x-（2-a）]≤0}，
∴其方程兩根為a和2-a，A的兩個(gè)端點(diǎn)是a與2-a；
∵$B=\left\{{x\left|{sin（{πx-\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}cos（{πx-\frac{π}{3}}）=0}\right.}\right\}$
={x|2sin（πx-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0}={x|sinπx=0}={x|x∈Z}，
由題意得，A∩B恰有3個(gè)元素，
①、當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，有3≤|a-（2-a）|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{|a-1|＜2}\\{|a-1|≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3，
則-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3=2；
②、當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，2-a也是整數(shù)，
則|a-（2-a）|=2，解得a=0或2，
綜上，a的取值范圍是{a|-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3或a=0或a=2}．

點(diǎn)評 本題考查了集合的概念與運(yùn)算，兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式解法的應(yīng)用，考查分類討論思想，化簡、變形能力，屬于中檔題．