已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=6，BC=7/4。以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy。

（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

（1）

（2）（i）時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。

（ii）時(shí)，方程為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓。


解析:

（1）

（2）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得

。整理得，其中。

（i）時(shí)，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。

（ii）時(shí)，方程變形為，其中，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=4，BC=3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系x0y
（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，
|0P||0M|
=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E（1，0），且AB與BC所在的直線方程分別為：x+3y-5=0與ax-y+5=0．
（1）求a的值；
（2）求DA所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長(zhǎng)方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．過A作BD的垂線交BD于E．

（1）問a為何值時(shí)，AE⊥CD；
（2）當(dāng)二面角A-BD-C的大小為90°時(shí)，求二面角A-BC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=2
2
，BC=
3
3
．以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．
（I）求以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓P交于M、N相異兩點(diǎn)，證明：對(duì)作意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線段MN為直徑的圓過E點(diǎn)．

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