如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB//CD, ,FC 平面ABCD, AE BD,CB =CD=-CF.
(Ⅰ)求證:平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直線AF與面BDF所成角的余弦值
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)通過計算可證得AD⊥BD,又因為AE⊥BD,由線面垂直的判定定理得,BD⊥面ADE,由面面垂直的判定定理得,面ADE⊥面ABCD; (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD,同理可證AC⊥BC,因為CF⊥面ABCD,所以以CA,CB,CF分別為建立空間直角坐標系,設BC=1,求出A、B、D,F點的坐標,求出的坐標和平面BDF法向量的坐標,利用空間向量夾角公式計算出這兩個向量夾角的余弦值,利用同腳三角函數基本關系求出向量夾角的正弦值即為線面夾角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
∴∠ADC=∠BCD=120°,
又CB=CD,∴∠CDB=30°,∴∠ADB=90°,AD⊥BD,
又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED,
∴BD⊥平面AED,∴平面ABCD⊥平面AED.
(Ⅱ)連結AC,由(Ⅰ)知AD⊥BD,∴AC⊥BC,
又FC⊥平面ABCD,∴CA,CB,CF兩兩垂直,
以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,設CB=1,
則A(,0,0),B(0,1,0),D(,,0),F(0,0,1),
∴=(,,0),==(0,?1,1),=(-,0,1),
設平面BDF的一個法向量為=(x,y,z),則,取z=1,則=(,1,1),
所以=,∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為. (12分)
考點:空間線面垂直的判定,空間面面垂直的判定,線面角的計算,推理論證能力,運算求解能力
科目:高中數學 來源:2013-2014學年河南省長葛市畢業(yè)班第三次質量預測(三模)文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知在數列{}中,
(1)求證:數列{}是等比數列,并求出數列{}的通項公式;
(2)設數列{}的前竹項和為Sn,求Sn.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年河南省畢業(yè)班高考適應性模擬練習理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知三角形的三邊構成等比數列,它們的公比為q,則q的一個可能的值是( )
A. B. C.2 D.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年河南省原名校高三高考仿真模擬統(tǒng)一考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數
(Ⅰ)a=-3時,求不等式 的解集;
(Ⅱ)若關于x的不等式 恒成立,求實數a的取值范圍
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年河南省原名校高三高考仿真模擬統(tǒng)一考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設隨機變量 服從正態(tài)分布 若 ,則 的值為
A.-1 B.l C. D.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年河北省邯鄲市高三第二次模擬考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數.
(1)當 時,求在處的切線方程;
(2)設函數,
(。┤艉瘮有且僅有一個零點時,求的值;
(ⅱ)在(。┑臈l件下,若,,求的取值范圍.
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