Question

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且g（x）≠0，當x＜0時f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，則不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：構造函數(shù) h（x）=

f(x)

g(x)

，由已知可得 x＜0時，h′（x）＜0，從而可得函數(shù)g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，又由已知可得函數(shù) g（x）為奇函數(shù)，故可得 g（0）=g（-3）=g（3）=0，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，結(jié)合圖象可求．

解答： 解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵當x＜0時，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0
當x＜0時，[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
令h（x）=

f(x)

g(x)

，則h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∵h（-x）=

f(-x)

g(-x)

=

-f(x)

g(x)

=-h(x)，
∴h（x）為奇函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵f（-3）=-f（3）=0，∴h（-3）=-h（3）=0
h（x）＜0的范圍為（-∞，-3）∪（0，3）
故答案為：（-∞，-3）∪（0，3）

點評：本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的運用，構造函數(shù)h（x）=

f(x)

g(x)

，并根據(jù)已知求解出該函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵，體會轉(zhuǎn)化思想、構造的方法及函數(shù)、方程、不等式的相互聯(lián)系．