Question

11．如圖是甲、乙兩位同學高二上學期歷史成績的莖葉圖，有一個數(shù)字被污損，用a（3≤a≤8且a∈N）表示．
（1）若乙同學算出自己歷史平均成績是92分，求a的值及乙同學歷史成績的方差；
（2）求甲同學歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績的概率．

Answer 1

分析 （1）由乙同學歷史平均成績是92分，求出a=6，由此能求出乙同學的歷史成績的方差．
（2）甲同學的歷史平均成績?yōu)?\frac{88+90+93+94+95}{5}=92$分，若甲的歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績，求出a≤6，從而3≤a≤6且a∈N，由此能求出甲同學歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績的概率．

解答 解：（1）因為乙同學歷史平均成績是92分，
所以$\frac{86+88+92+98+90+a}{5}=92$，
解得a=6．…（3分）
此時乙同學的歷史成績的方差為：
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{5}[{（92-86）^2}+{（92-88）^2}+{（92-92）^2}+{（96-92）^2}+{（98-92）^2}]$=$\frac{104}{5}$．…（6分）
（2）甲同學的歷史平均成績?yōu)?\frac{88+90+93+94+95}{5}=92$分，…（8分）
若甲的歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績，
則$\frac{86+88+92+98+90+a}{5}≤92$，得a≤6．…（10分）
因為3≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，
記甲同學歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績?yōu)槭录嗀，
則事件A包含4個基本事件，而基本事件總數(shù)共有6個，
所以事件A的概率$P（A）=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$．…（13分）
答：（1）a的值為6，乙同學歷史成績的方差為$\frac{104}{5}$；
（2）甲同學歷史平均成績不低于乙同學歷史平均成績的概率為$\frac{2}{3}$．…（14分）

點評 本題考查實數(shù)值、方差的求法，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．