Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由題意可知f′（1）=0，即可求得a的值，
（2）x∈[e，+∞），則x+lnx＞0，由f（x）≥0恒成立，則a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，即a≤（$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$）_min，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，即可求得h（x）的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx，求導(dǎo)f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x}$，由題意可得f′（1）=0，解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)，在x=1處取得極值，
∴a的值1；                        
（2）由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
∴f（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，x∈[e，+∞），求導(dǎo)g′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上是增函數(shù)，則h（x）≥h（e）=$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，
∴a≤$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，
a的取值范圍（-∞，$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．