Question

已知拋物線x²＝2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B.

某學習小組在研究討論中提出如下三個猜想：

(1)直線PA、PB恒垂直；

(2)直線AB恒過焦點F；

(3)等式·＝λ²中的λ恒為常數(shù).

現(xiàn)請你一一進行論證.

Answer 1

(1)由x²＝2y，得y＝，對其求導，得y′＝x，設A(x₁，)、B(x₂，)，

則直線PA、PB的斜率分別為k_PA＝x₁，k_PB＝x₂，

由點斜式得直線PA方程為y－＝x₁(x－x₁)，

即y＝x₁x－①，

同理，直線PB方程為y＝x₂x－②，

由①、②兩式得點P坐標為(，)，

∵點P在準線y＝－上，

∴＝－，即x₁x₂＝－1.

∴k_PA·k_PB＝x₁x₂＝－1，

∴PA⊥PB，猜想(1)是正確的.

(2)直線AB的斜率k＝＝，

由點斜式得直線AB方程為

y－＝(x－x₁)，

將上式變形并注意到x₁x₂＝－1，

得y＝x＋，

顯然，直線AB恒過焦點F(0，)，猜想(2)是正確的.

(3)當AB∥x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性知A(－1，)、B(1，)或A(1，)、

B(－1，)，

這時點P坐標為(0，－).

·＝(－1,0)·(1,0)＝－1，＝(0，－1)，

²＝1，有λ＝－1.

下面證·＝－²必成立，

∵＝(x₁，)－(0，)＝(x₁，)，

＝(x₂，)－(0，)＝(x₂，)，

∴·＝x₁x₂＋(x－1)(x－1)

＝x₁x₂＋(xx－x－x＋1)

＝x₁x₂＋[(x₁x₂)²＋2x₁x₂－(x₁＋x₂)²＋1]

＝－1＋[(－1)²＋2×(－1)－(x₁＋x₂)²＋1]

＝－1－(x₁＋x₂)².

又＝(，)－(0，)

＝(，－)－(0，)

＝(，－1)，

∴²＝(x₁＋x₂)²＋1，故·＝－²，λ恒為－1.猜想(3)也是正確的.