Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{{log}_3}（x+1）|，-1＜x≤0}\\{tan（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\end{array}}\right.$，則$f[f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-1）]$=1，若$f（a）＜f（\frac{1}{2}）$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$．．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的表達(dá)式代入求解即可；
對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性得出a的范圍，求并集即可．

解答 解：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{{log}_3}（x+1）|，-1＜x≤0}\\{tan（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\end{array}}\right.$，
∴f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）=$\frac{1}{2}$，
∴$f[f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-1）]$=f（$\frac{1}{2}$）=tan$\frac{π}{4}$=1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=tan$\frac{π}{2}$x為增函數(shù)，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，f（x）=|log₃（x+1）|為減函數(shù)，且f（-$\frac{2}{3}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴-$\frac{2}{3}$＜a≤0，
故a的范圍為-$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$．
故答案為1，-$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了分段函數(shù)的求值和對(duì)分段函數(shù)分類求解．