已知定圓的圓心為
,動(dòng)圓
過(guò)點(diǎn)
,且和圓
相切,動(dòng)圓的圓心
的軌跡記為
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線
上一點(diǎn),試探究直線:
與曲線
是否存在交點(diǎn)? 若存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)直線
與曲線
總有兩個(gè)交點(diǎn)
,
.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先找出圓心和半徑,設(shè)出動(dòng)圓的圓心和半徑,因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)
,且和圓
相切,所以
,所以點(diǎn)
的軌跡是以
為焦點(diǎn)的橢圓;(Ⅱ)討論
的情況,分
和
兩種,當(dāng)
時(shí),顯然有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)
時(shí),聯(lián)立方程組,消
解方程,看解的個(gè)數(shù).
試題解析:(Ⅰ)圓的圓心為
,半徑
.
設(shè)動(dòng)圓的圓心為
半徑為
,依題意有
.
由,可知點(diǎn)
在圓
內(nèi),從而圓
內(nèi)切于圓
,故
,
即,所以點(diǎn)
的軌跡是以
為焦點(diǎn)的橢圓. 3分
設(shè)橢圓方程為. 由
,
,可得
,
.
故曲線的方程為
.
6分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由
可得
.此時(shí)直線
的方程為:
,
與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)
.
8分
當(dāng)時(shí),直線
的方程為:
,
聯(lián)立方程組消去
得,
①
由點(diǎn)為曲線
上一點(diǎn),得
,可得
.
于是方程①可以化簡(jiǎn)為. 解得
或
.
當(dāng)代入方程
可得
;
當(dāng)代入方程
可得
.顯然
時(shí),
.
綜上,直線與曲線
總有兩個(gè)交點(diǎn)
,
.
13分
考點(diǎn):1.求橢圓方程;2.判斷直線與橢圓的交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
3 |
AM |
AN |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
49 |
y2 |
45 |
x2 |
49 |
y2 |
45 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
e1+e2 |
e1e2 |
A、r1+r2 |
B、r1和r2中的較大者 |
C、r1和r2中的較小者 |
D、|r1-r2| |
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