Question

（本題滿分14分）設為非負實數(shù)，函數(shù).
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)，并求出零點．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是
（Ⅱ）當時，函數(shù)的零點為；
當時，函數(shù)有一個零點，且零點為；
當時，有兩個零點和；
當時，函數(shù)有三個零點和.

試題分析：（Ⅰ）當時，，          ……2分
①當時，，∴在上單調(diào)遞增；
② 當時，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.     ……6分
（Ⅱ）（1）當時，，函數(shù)的零點為；
（2）當時，，
故當時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴在上單調(diào)遞增，；
當時，，二次函數(shù)對稱軸，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
∴的極大值為，
 當，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，
由解之得
函數(shù)的零點為或（舍去）；
 當，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點，分別為和；
 當，即時，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點，
由解得，，
∴函數(shù)的零點為和.
綜上可得，當時，函數(shù)的零點為；
當時，函數(shù)有一個零點，且零點為；
當時，有兩個零點和；
當時，函數(shù)有三個零點和.                    ……14分
點評：判斷函數(shù)的單調(diào)性可以用單調(diào)性的定義并結(jié)合常見函數(shù)的單調(diào)性，二此函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合二次函數(shù)的圖象，分類討論時要做到不重不漏.