Question

(本小題滿分14分)如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．

⑴ 證明：//平面；

⑵ 證明：⊥；

⑶ 當為的中點時，求四棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；(2) 證明：見解析；(3) E-ACD₁的體積為．

【解析】

試題分析：（1）利用線線平行的來證明線面平行。

（2）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊂平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁為正方形，利用直線與平面垂直的性質(zhì)，能夠證明A₁D⊥D₁E．

（3） 設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，先求出△AD₁C和△ACE的面積，再求出三棱錐D₁-AEC的體積，由此能夠求出點E到面ACD₁的距離．進而得到體積。

(1)證明：∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體

∴AB// D₁C₁，AB=D₁C₁，   ……1分

∴AB C₁ D₁為平行四邊形，……2分

∴B C₁ // AD₁，         ……3分

又B C₁平面ACD₁，AD₁Ì平面ACD₁， ……4分

所以BC₁//平面ACD₁.   ……5分

(2) 證明：∵ AE⊥平面AA₁D₁D，A₁DÌ平面AA₁D₁D，

∴ A₁D⊥AE，                         ……6分

AA₁D₁D為正方形，∴A₁D⊥A D₁ ，                                 ……7分

又A₁D∩AE =A，∴A₁D⊥平面AD₁E，                               ……9分

A₁DÌ平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E，                                   ……10分

(3) 解：，      ……12分

                          ……13分

所以E-ACD₁的體積為．                                 ……14分

考點：本試題主要考查了空間中點線面的位置關(guān)系的運用證明線線的垂直，和線面平行以及幾何體的體積的綜合運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理的靈活運用和熟練掌握，同時對于體積的求解，一般就是研究幾何體的高既可以得到。