Question

【題目】已知x，y滿足約束條件.

（1）求目標(biāo)函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取得最大值5時(shí)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最值的求解問題，通過直線平移可確定過原點(diǎn)時(shí)取最大值，過時(shí)取最小值；代入可求得所求的最值；

（2）由約束條件可得可行域，當(dāng)取最大值時(shí)，在軸截距最大，分別在、和的情況下確定最值點(diǎn)，進(jìn)而得到滿足的方程，將問題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到所在的直線上的點(diǎn)的距離的平方的最小值的求解，進(jìn)而求得結(jié)果.

（1）由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：

將化為，則取最值時(shí)，在軸截距取得最值；

由圖象可知：當(dāng)過原點(diǎn)時(shí)，直線在軸截距最小，此時(shí)取得最大值；

當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸截距最大，此時(shí)取最小值；

由得：，，

，.

（2）由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：

將化為，則取最大值時(shí)，直線在軸截距最大，

，，，

①若，即時(shí)，過點(diǎn)時(shí)，在軸截距最大，

由得：，，，

則以為橫軸，為縱軸可建立平面直角坐標(biāo)系，則軌跡為直線且，

可看作原點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方，

原點(diǎn)到直線的距離的平方為，此時(shí)，，滿足，

；

②若，即時(shí)，過時(shí)，在軸截距最大，

由（1）知：，，

則以為橫軸，為縱軸可建立平面直角坐標(biāo)系，則軌跡為直線且，

可看作原點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方，

原點(diǎn)到直線的距離的平方為，此時(shí)，，滿足，

；

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)與重合時(shí)，在軸截距最大，

，，；

綜上所述：的最小值為.