Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過右焦點(diǎn)F且傾斜角為

π

3

的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，且3

AF

=5

FB

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△ABF₁的面積小于等于

8 3

5

（F₁為左焦點(diǎn)），求弦AB長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A₁，B₁由直線AB的傾斜角為

π

3

可得，2（AA₁-BB₁）=AB=AF+BF=e（AA₁+BB₁），再由3

AF

=5

FB

 可得3AA₁=5BB₁，從而結(jié)合定義可求離心率e
（2）由

x2

c2

+

y2

3 c2

=1及y= 

3

(x-c)可得15x²-24cx=0，而S△ABF1=

1

2

FF1•|yB-yA|=

1

2

×2c×

8 3 c

5

≤

8 3

5

可得c≤1，結(jié)合AB=

(xA-xB)2

+

(yA-yB)2

可求

解答：解：分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A₁，B₁
因?yàn)橹本�AB的傾斜角為

π

3

所以2（AA₁-BB₁）=AB=AF+BF=e（AA₁+BB₁）
由3

AF

=5

FB

 可得3AA₁=5BB₁
所以e=

1

2

（2）由

x2

c2

+

y2

3 c2

=1及y= 

3

(x-c)可得15x²-24cx=0
所以，xA=0，xB=

8c

5

因?yàn)?span id="x0qwpxw" class="MathJye">S△ABF1=

1

2

FF1•|yB-yA|=

1

2

×2c×

8 3 c

5

≤

8 3

5

可得c≤1
又因?yàn)?span id="4fyhvep" class="MathJye">AB=

(xA-xB)2

+

(yA-yB)2

，所以AB≤

16

5

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般講直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，作為突破口來找思路．