Question

7．如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求證：AD⊥BM；
（Ⅱ）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐M-ADE的體積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由勾股定理證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）三棱錐M-ADE的體積就是三棱錐E-ADM的體積，而三角形ADM面積已知，則可以算出三棱錐E-ADM的高h(yuǎn)，由（Ⅰ）可知BM⊥面ADM，通過h與BM的比值可確定E點(diǎn)在BD上的位置．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點(diǎn)，
∴AM=2，BM=2，AB²=AM²+BM²，∴BM⊥AM，
又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
又∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM；
（Ⅱ）解：在△BDM中，作EF∥BM交DM于F．
由（Ⅰ）知BM⊥平面ADM，
∴EF⊥平面ADM，EF是三棱錐E-MAD的高，
V_M-ADE=V_E-MAD=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$AD•DM）•EF=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{6}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$×EF=$\frac{1}{3}$，
則EF=1，
在△DMB中，BM=2，且EF∥BM，
∴EF為中位線，即E為BD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查利用等積法求三棱錐的體積，折疊問題重點(diǎn)分析折疊后未變的平行與垂直關(guān)系，線段的長(zhǎng)，角度的不變的量；該題作為探究性問題，先把結(jié)論當(dāng)成已知，然后結(jié)合已知條件列出方程求解，屬中檔題．