Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點．
（1）求證：A₁D⊥B₁C₁；
（2）判斷A₁B與平面ADC₁的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）欲證A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，故只要證A₁D⊥BC，根據點D是正△ABC中BC邊的中點，可證AD⊥BC，進而證得結論；
（2）直線A₁B∥平面ADC₁．欲證A₁B∥平面ADC₁．只需證明DF∥A₁B，連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點，因為D是BC的中點，所以DF∥A₁B，利用線面平行的判定定理可證．

解答：證明：（1）∵點D是正△ABC中BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BC
∵A₁A?平面A₁AD，AD?平面A₁AD，A₁A∩AD=A
∴BC⊥平面A₁AD，
∵A₁D?平面A₁AD，
∴A₁D⊥BC，
∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥B₁C₁．
（2）直線A₁B∥平面ADC₁，證明如下：
連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點，
∵D是BC的中點，
∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．

點評：本題的考點是點、線、面間距離的計算，主要考查點、線、面之間的位置關系，考查點線距離，關鍵是正確利用線面平行與垂直的判定與性質．