如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別為所在邊的中點，O為面對角線A1C1的中點．
（1）求證：面MNP∥面A1C1B．
（2）求證：OM⊥面A1BC1．
考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）連結(jié)D1C，由三角形中位線定理得MN∥D1C，MP∥C1B，由此能證明面MNP∥面A1C1B．
（2）連結(jié)C1M和A1M，設(shè)正方體的邊長為a，連結(jié)BO和BM，由勾股定理得BO⊥MO．由此能證明MO⊥面A1C1B．
解答： 證明：（1）連結(jié)D1C，MN為△DD1C的中位線，∴MN∥D1C．…（2分）
又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B．同理MP∥C1B．…（4分）
而MN與MP相交，MN，MP?面MNP，A1B，A1B?面A1C1B．
∴面MNP∥面A1C1B．…（6分）
（2）連結(jié)C1M和A1M，設(shè)正方體的邊長為a，
∵正方體ABCD-A1B1C1D1，∴C1M=A1M，
又∵O為A1C1的中點，
∴A1C1⊥MO…（8分）
連結(jié)BO和BM，在三角形BMO中，
OB=
6
2
a，MO=
3
2
a，BM=
3
2
a，
∴OB2+MO2=MB2，
即BO⊥MO．而A1C1，BO?面A1C1B，
∴MO⊥面A1C1B．…（12分）
點評：本題考查面面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)底面直徑和高都是4厘米的圓柱的內(nèi)切球為O．
（1）求球O的體積和表面積；
（2）與底面距離為1的平面和球的截面圓為M，AB是圓M內(nèi)的一條弦，其長為2
3
，求AB兩點間的球面距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x-4
+
5-x
的最大值為M．
（Ⅰ）求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M的解集．

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已知矩陣M=
12
21

（1）求M的逆矩陣M-1；
（2）求直線l：x=1經(jīng)M對應(yīng)的變換TM變換后的直線l′的方程；
（3）判斷
α
=
-1
1
是否為M的特征向量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*
（Ⅰ）證明列{an+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，n∈N*．證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE，CF的中點．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；
（3）求多面體ABCDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）在R上的圖象是一條連貫的曲線，且對于?∈R，f′（x）均存在，當x≠0時，f′（x）+
f(x)
x
＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+
1
x
的零點的個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且距離為1，則球的半徑是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體AOCB中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，OA=a，OB=b，OC=c，直角頂點O在底面ABC上的射影是H，則下列命題正確的有
 
．（寫出所有正確命題的序號）
①底面△ABC是銳角三角形；
②四面體AOCB的對棱互相垂直；
③四面體AOCB的外接球半徑R=
1
2
a2+b2+c2
；
④點H是△ABC的垂心；
⑤
2
OH2
=
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
．

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