Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若橢圓上存在一點P使

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，則該橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由“

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到在△PF₁F₂中運用由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF1F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

兩者結(jié)合起來，可得到

a

|P F2|

=

c

|P F1|

，再由焦點半徑公式，代入可得到：a（a+ex₀）=c（a-ex₀）解出x₀，由橢圓的范圍，建立關(guān)于離心率的不等式求解．要注意橢圓離心率的范圍．

解答：解：在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

則由已知得：

a

|P F2|

=

c

|P1F1|

，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
設點（x₀，y₀）由焦點半徑公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
則a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x0=

a(c-a)

e(c+a)

=

a(e-1)

e(e+1)

由橢圓的幾何性質(zhì)知：x₀＞-a則

a(e-1)

e(e+1)

＞-a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜-

2

-1或e＞

2

-1，又e∈（0，1），
故橢圓的離心率：e∈(

2

-1，1)，
故答案為：(

2

-1，1)．

點評：本題主要考查橢圓的定義，性質(zhì)及焦點三角形的應用，特別是離心率應是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．