【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

【答案】(1);.

(2).

【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得兩點的坐標, 設點，代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

直線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）由直線的方程可得點，點.

設點，則 .

.

由（Ⅰ）知，則 .

因為，所以.

【題型】解答題
【結(jié)束】
23

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若對于任意， 都滿足，求的值；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】(I) 因為， ，所以的圖象關于對稱.而的圖象關于對稱，所以，所以.(II)將原不等式等價變形為,將左邊構(gòu)造成函數(shù),利用分類討論法求得函數(shù)的最小值,由此求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）因為， ，所以的圖象關于對稱.

又的圖象關于對稱，所以，所以.

（Ⅱ）等價于.

設 ，

則 .

由題意，即.

當時， ， ，所以；

當時， ， ，所以，

綜上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐 中， 平面 ，底面是等腰梯形，且 ，其中 .

（1）證明：平面 平面 .

（2）求點 到平面 的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓： 的兩個焦點和兩個頂點，點， ， 是橢圓上的兩點，它們在軸兩側(cè)，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點.

【解析】【試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點即為橢圓的焦點，圓與軸交點即為橢圓的上下兩頂點，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設直線的方程為.

由，消去得.

設， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因為，所以，

所以.

因此，直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關系的判斷.（2）弦長、弦中點問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設而不求.（2）坐標法.（3）根與系數(shù)關系.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中， 為等邊三角形，且平面平面， ， ， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】【試題分析】(I) 取的中點為，連接，.利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證得,由此證得平面,故,故.(II) 可知是棱錐的高,利用體積公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得的值,進而求得面積.

【試題解析】

證明：（Ⅰ）取的中點為，連接，，

∵為等邊三角形，∴.

底面中，可得四邊形為矩形，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴.

又，所以.

（Ⅱ）由面面，，

∴平面，所以為棱錐的高，

由，知，

，

∴.

由（Ⅰ）知，，∴.

.

由，可知平面，∴，

因此.

在中，，

取的中點，連結(jié)，則，，

∴ .

所以棱錐的側(cè)面積為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓： 的兩個焦點和兩個頂點，點， ， 是橢圓上的兩點，它們在軸兩側(cè)，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調(diào)遞增，

從而得在上單調(diào)遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 據(jù)觀測統(tǒng)計，某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只，并以平均每年的速度增加．

(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數(shù)；

(2)寫出（珍稀鳥類的個數(shù)）關于（經(jīng)過的年數(shù)）的函數(shù)關系式；

(3)約經(jīng)過多少年以后，這種鳥類的個數(shù)達到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上？（結(jié)果為整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：，)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)對任意的都有，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設函數(shù)．

①若存在實數(shù)，，使得在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且取值范圍也為，求的取值范圍；

②若函數(shù)的零點都是函數(shù)的零點，求的所有零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某服裝商場，當某一季節(jié)即將來臨時，季節(jié)性服裝的價格呈現(xiàn)上升趨勢．設一種服裝原定價為每件70元，并且每周(7天)每件漲價6元，5周后開始保持每件100元的價格平穩(wěn)銷售；10周后，當季節(jié)即將過去時，平均每周每件降價6元，直到16周末，該服裝不再銷售．

(1)試建立每件的銷售價格(單位：元)與周次之間的函數(shù)解析式；

(2)若此服裝每件每周進價(單位：元)與周次之間的關系為，，試問該服裝第幾周的每件銷售利潤最大？(每件銷售利潤＝每件銷售價格－每件進價)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且點在函數(shù)的圖象上．

（1）求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；

（2）求不等式的解集；

（3）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

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