Question

設(shè)實(shí)數(shù)x＞0，n∈N^*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足：a_n＞0且ean+1=ean-1，證明：{a_n}在定義域內(nèi)是遞減數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，對(duì)二函數(shù)分別利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，即可證得：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）利用等差數(shù)列的概念可知數(shù)列{ean}是公差為-1的等差數(shù)列，可求得其通項(xiàng)公式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得{a_n}在定義域內(nèi)是遞減數(shù)列．

解答： 證明：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，
①f（x）=1+（x-1）e^x，
f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
因?yàn)閤＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)遞增，
又f（0）=1-1=0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
即（1-x）e^x＜1．
②g′（x）=e^x-1，
因?yàn)閤＞0時(shí)，e^x＞1，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)遞增，
又g（0）=1-1=0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，
即1＜e^x-x，
綜上所述，（1-x）e^x＜1＜e^x-x．
（2）因?yàn)?span id="2sijb2o" class="MathJye">ean+1=ean-1，所以數(shù)列{ean}是公差為-1的等差數(shù)列，又a_n＞0，
因?yàn)?span id="dpqatt1" class="MathJye">ean=ea1+（n-1）×（-1）=1+ea1-n＞0，
所以a_n=ln（1+ea1-n），由于y=lnx為增函數(shù)，y=1+ea1-n為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得，a_n=ln（1+ea1-n）為定義域上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的證明，著重考查構(gòu)造函數(shù)的思想與推理證明能力，考查轉(zhuǎn)化思想．