Question

（2013•德州二模）已知f（x）=x-ln（x+l），g（x）=ax²．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，則f（x）-g（x）≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），并將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，分類討論后，綜合討論結(jié)果可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=x-ln（x+l），（x＞-1）
∴f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（x＞-1）
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)
故函數(shù)f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)
當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取最小值0，無最大值
（II）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，
則對任意的x∈[0，+∞），有g(shù)（x）-f（x）≥0恒成立，
令h（x）=g（x）-f（x）=ax²-x+ln（x+l），x∈[0，+∞），
則h′（x）=2ax-1+

1

x+1

=

x(2ax+2a-1)

x+1

（1）若a≤0，由x∈[0，+∞）知h′（x）≤0
此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)，故h（x）≤h（0）=0，
故a≤0時不滿足題意
（2）若a＞0
①當(dāng)2a-1≥0，即a≥

1

2

時，
由x∈[0，+∞）知h′（x）≥0
此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)，故h（x）≥h（0）=0，
故a≥

1

2

時滿足題意
②當(dāng)2a-1＜0，即0＜a＜

1

2

時，
令h′（x）＜0得：0＜x＜

1

2a

-1
故函數(shù)h（x）在（0，

1

2a

-1）上為減函數(shù)
此時h（x）＜h（0）=0
∴0＜a＜

1

2

時不滿足題意
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

1

2

，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．