Question

【題目】公差不為零的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．

Ⅰ求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

Ⅱ令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I），；（II）.

【解析】

Ⅰ通過等差數(shù)列的公差，利用可知，通過計(jì)算可知；通過在中令可知首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)利用化簡可知，進(jìn)而可知；Ⅱ通過可知，利用錯位相減法可求數(shù)列的前項(xiàng)和，利用等比數(shù)列的求和公式可求數(shù)列的前項(xiàng)和，進(jìn)而可知，通過函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即得結(jié)論．

Ⅰ依題意，等差數(shù)列的公差，

，，成等比數(shù)列，

，即，

整理得：，即，

又等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，

，即，

整理得：，，

；

，

，即，

當(dāng)時(shí)，，即，

數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，

；

Ⅱ由可知，

記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則

，

，，

，

，

，

記，則，

故數(shù)列隨著n的增大而減小，

又，，

．