Question

已知曲線y=2sinx與曲線y=ax²+bx+的一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，且兩曲線在交點(diǎn)P處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形恰好有外接圓，則a與b的值分別為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入曲線y=ax²+bx+上得到關(guān)于a與b的一個(gè)關(guān)系式；求出兩切線方程，再結(jié)合兩曲線在交點(diǎn)P處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形恰好有外接圓對(duì)應(yīng)的兩切線斜率乘積為-1得到關(guān)于于a與b的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式即可求出答案．
解答：因?yàn)辄c(diǎn)P橫坐標(biāo)，
點(diǎn)P在y=2sinx上，因此點(diǎn)P坐標(biāo)是（，）；
點(diǎn)P在y=ax²+bx+上，因此有a+b=0①
y=2sinx在點(diǎn)P處的切線的斜率為2cos=-1，
因?yàn)閮汕芯�與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形恰有外接圓，且P點(diǎn)在第一象限．
因此兩切線垂直（有外接圓的四邊形對(duì)角和為180度）．即兩切線斜率乘積為-1．
因此，y=ax²+bx+在點(diǎn)P處的斜率為1．
又y′=2ax+b可以得出其在點(diǎn)P處的斜率為2a×+b=1 ②．
由①②得：．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．解決本題的關(guān)鍵在于結(jié)合兩曲線在交點(diǎn)P處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形恰好有外接圓得到對(duì)應(yīng)的兩切線斜率乘積為-1．