Question

在平面x0y內(nèi)，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域?yàn)閁，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)閂．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”．在區(qū)域U任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U每次任取1個(gè)點(diǎn)，連續(xù)取3次，得到3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為13個(gè)，整點(diǎn)在平面區(qū)域V的有3個(gè)，由此能求出這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率．
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=．在區(qū)域U任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V的概率為，隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3．分別求出其概率，由此能夠求出X的分布列和EX．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13個(gè)，
上述整點(diǎn)在平面區(qū)域V的為：（0，0），（1，0），（2，0）共有3個(gè)，
∴P==．…（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，
平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為=．
在區(qū)域U任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V的概率為，
隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-）³=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列為

X		1	2	3
P

∴X的數(shù)學(xué)期望：EX=0×+1×+2×+3×=．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．