Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線斜率；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值大于．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由，可得，故，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率；（2）由在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，可得存在使得，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上有極小值，設(shè)， ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞減，所以.

試題解析：（1）依題意， ， ，故，

即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；

證明：（2）因?yàn)?/span>，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)?/span>， ，

所以使得，

所以， ； ， ，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上有極小值，

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)， ，

則 ，所以，

即在上單調(diào)遞減，所以，

即，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值大于．