Question

已知函數f（x）=x²（x+a）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數f（x）=x²（x+a），令a=1，我們可以以求出函數的解析式，進而求出其導函數的解析式，進而分析出函數的單調性，最后求出f（x）的極值；
（Ⅱ）根據已知中函數f（x）=x²（x+a），我們求出導函數的解析式，由a≠0可知我們要分a＞0和a＜0兩種情況進行分類討論，分別確定出導函數的符號，進而判斷出f（x）的單調區(qū)間．
解答：解：f（x）=x²（x+1）=x³+x²f'（x）=3x²+2x…（1分）
令3x²+2x=0則…（2分）

x					（0，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（4分）∴當時，…（5分）
當x=0時，f（x）_極小值=f（0）=0…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²∴f'（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）…（7分）
①當a＜0時，
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜0或…（8分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得…（9分）∴f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，0），，單調減區(qū)間為．…（10分）
②當a＞0時，
令f'（x）=3x²+2ax＞0得或x＞0…（11分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得…（12分）∴f（x）的單調增區(qū)間為，（0，+∞）．單調減區(qū)間為．…（13分）
綜上可知，當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，0），，單調減區(qū)間為；
當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間為，（0，+∞），單調減區(qū)間為．
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，其中解答的關鍵的根據已知函數的解析式，求出函數的導函數的解析式，并判斷其符號．