Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求當x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域；
（3）當x∈[-π，π]時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)f（x）為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后
（1）直接求出最小正周期
（2）先求出2x+

π

6

的取值范圍，再求f（x）的值域．
（3）求出f（x）在R上的單調(diào)遞減區(qū)間，再與∈[-π，π]取公共區(qū)間即可．

解答：解：y=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
（1）函數(shù)的周期T=

2π

2

=π
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．函數(shù)f（x）的值域是[-1，2]
（3）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得x∈[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z，
當x∈[-π，π]時，分別取k=-1，0得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
[-

5π

6

，-

π

3

]，[

π

6

，

2π

3

]

點評：本題考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化、計算能力，是常規(guī)題目．