Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在實數(shù)x，使得f（x）≤|x|+a，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，分類討論，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由題意可得，不等式①有解．根據(jù)絕對值的意義可得|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，故有

a

2

+1≥-

1

2

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2=

-x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜0 x-1，x≥0

，
當x＜-

1

2

時，由-x-3≥0，可得x≤-3．
當-

1

2

≤x＜0時，由3x-1≥0，求得 x∈∅．
當x≥0時，由x-1≥0，求得 x≥1．
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤-3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由題意可得，不等式①有解．
由于|x+

1

2

|-|x|表示數(shù)軸上的x對應點到-

1

2

對應點的距離減去它到原點的距離，故|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，
故有

a

2

+1≥-

1

2

，求得a≥-3．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．