Question

（2013•豐臺區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且過點P（2，

2

）．直線l過點F且交橢圓C于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M（

1

2

，0），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解出即可；
（Ⅱ）易知直線l存在斜率，設直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及中點坐標公式可用k表示出AB中點N的坐標，由題意得k_MN•k=-1，即

y0

x0- 1 2

•k=-1，把x₀，y₀用k表示出來即得關于k的方程，解出方程然后運用點斜式即可求得l的方程；

解答：解：（Ⅰ）由題意得，

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，不符合題意，
當斜率存在時設直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=k(x-2)

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
因為△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-8）=32（k²+1）＞0，
所以x1+x2=

8k2

1+2k2

，
所以x0=

x1+x2

2

=

4k2

1+2k2

，y0=k(x0-2)=

-2k

1+2k2

，
因為線段AB的垂直平分線過點M（

1

2

，0），
所以k_MN•k=-1，即

y0

x0- 1 2

•k=-1，
所以-

2k2

1+2k2

=-

4k2

1+2k2

+

1

2

，
解得，k=±

2

2

，
所以直線l的方程為x-

2

y-2=0或x+

2

y-2=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，韋達定理、判別式是解決該類題目的常用知識，正確挖掘“線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M”所含信息是解決（Ⅱ）問的關鍵．