Question

12．當a＜0時，函數y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-2，0）
• B． [-2，0）
• C． [-2，1]
• D． （-2，1]

Answer 1

分析 根據題意，可將問題轉化為導函數y′≥0在（2，+∞）上恒成立，即求y′_min≥0，運用二次函數的性質即可求得y′_min，從而得到關于a的不等關系，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4，
∴y′=x²-2ax-3a²，
∵函數y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（2，+∞）上是增函數，
∴y′=x²-2ax-3a²≥0在（2，+∞）上恒成立，
∵y′=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，
∴對稱軸為x=a＜0，
∴y′在（2，+∞）單調遞增，
∴y′＞2²-2a×2-3a²=4-4a-3a²≥0，
∴-2≤a≤1，又a＜0，
∴-2≤a＜0，
∴實數a的取值范圍是[-2，0）．
故選：B．

點評 本題考查函數單調性的綜合運用，函數的單調性對應著導數的正負，若已知函數的單調性，經常會將其轉化成恒成立問題解決．屬于中檔題．