Question

設(shè)曲線y=

ax3

3

+

1

2

bx²+cx在點(diǎn)x處的切線斜率為k（x），且k（-1）=0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函數(shù)k（x）的表達(dá)式；
（3）求證：

n

i=1

1

k(i)

＞

2n

n+2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，在恒成立的不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先對(duì)曲線方程求導(dǎo)可得k（x）=ax²+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，又由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立，對(duì)x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)變形可得，ax²+

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得關(guān)于ac的關(guān)系式，聯(lián)系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表達(dá)式；
（3）由（2）得到的k（x）的表達(dá)式，可得則

1

k(x)

=

4

(x+1)2

，由不等式的性質(zhì)，可得則

4

(x+1)2

＞

4

x(x+2)

=2（

1

x

-

1

x+2

），即可得

1

k(n)

＞2（

1

n

-

1

n+2

）；代入則

n

i=1

1

K(i)

=

1

K(1)

+

1

K(2)

+…+

1

k(n)

中，運(yùn)用放縮法，可證明不等式．

解答：解：（1）根據(jù)題意，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立，
則當(dāng)x=1時(shí)，有1≤k（1）≤

1+1

2

=1，
即1≤k（1）≤1，
則k（1）=1
（2）對(duì)曲線方程求導(dǎo)可得k（x）=ax²+bx+c，
k（-1）=0，則a-b+c=0------①
由（1）得，k（1）=1，則a+b+c=1------②
由①②得a+c=

1

2

，b=

1

2

；
則k（x）=ax²+

1

2

x+c，
又由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立可得，
ax²-

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；
由ax²+

1

2

x+c≥0恒成立可得a＞0，

1

4

≤4ac，
由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）
得0＜a＜

1

2

，且

1

16

≤ac≤

1

16

ac=

1

16

，
且a+c=

1

2

，則a=c=

1

4

，
則k（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
證明：（3）由（2）可得k（x）=

1

4

（x+1）²，則

1

k(x)

=

4

(x+1)2

＞

4

x(x+2)

=2（

1

x

-

1

x+2

），
即

1

k(n)

＞2（

1

n

-

1

n+2

）；
則

n

i=1

1

K(i)

=

1

K(1)

+

1

K(2)

+…+

1

k(n)

＞2（1-

1

3

）-2（

1

2

-

1

4

）+…+2（

1

n

-

1

n+2

）＞2（1-

1

n+2

）＞

2n

n+2

；
即不等式可證．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的恒成立問題、曲線的切線方程以及放縮法證明不等式，難度較大；解（Ⅱ）題時(shí)要注意二次函數(shù)大于等于0恒成立的條件．