Question

如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥面ABF；
（Ⅱ）求異面直線BE與AF所成的角；
（Ⅲ） 求該幾何體的表面積．

Answer 1

（1）證明：因為面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交線AD，AF?面ADEF，
所以AF⊥面ABCD．（2分）
故 AF⊥AC，又 BF⊥AC，AF∩BF=F．
所以AC⊥面ABF．…（4分）
（2）解：由（1）得AF，AB，AC兩兩互相垂直，
故可以以A點為坐標原點，
建立如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
∵BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
∴，F(xiàn)（0，0，2）．…（6分）
，，
cos＜＞===．
即異面直線BE與AF所成的角的余弦值為．…（8分）
（3）解：由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，
所以△ABF的面積．…（9分）
同理△CDE的面積S₂=2，等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為，則它的高為，
所以其面積．…（10分）
等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，
則它的高為，
所以其面積．…（11分）
故該幾何體的表面積．…（12分）
分析：（1）因為面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交線AD，AF?面ADEF，所以AF⊥面ABCD由此能夠證明AC⊥面ABF．
（2）由（1）得AF，AB，AC兩兩互相垂直，故可以以A點為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則，，由向量法能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．
（3）由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，所以△ABF的面積．同理△CDE的面積S₂=2，等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為，則它的高為，等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，它的高為，由此能求出該幾何體的表面積．
點評：本題考查AC⊥面ABF的證明，求異面直線BE與AF所成的角，求該幾何體的表面積．解題時要認真審題，合理地化空間幾何問題為平面幾何問題，注意向量法的靈活運用．