Question

（12分）已知函數(shù)（）.

①當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

②設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點.證明：存在實數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求.

 

Answer 1

【答案】

①.②存在實數(shù)滿足題意，且.

【解析】

試題分析：（1）將a，b的值代入后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于該點的切線的斜率，可得答案．

（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x₃是f（x）的一個零點可得到x₃=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．

解：①當(dāng)時，，故，又，

  所以點處的切線方程為：.

②證明：因為=，由于，故，

所以的兩個極值點為，不妨設(shè)，，

因為，且是的一個零點，故，

由于，故，故，又，

故=，此時依次成等差數(shù)列，

所以存在實數(shù)滿足題意，且.

考點：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識．

點評：對于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用問題，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考試的必考的一個知識點，要引起重視，同時對于極值點的導(dǎo)數(shù)為零是該點為極值點的必要不充分條件。