Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₄=45，a₁+a₅=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

a 2 n -1

（n∈N^*），若數(shù)列{c_n}滿足c₁=-

1

4

，c_n+1-c_n=b_n（n∈N^*）．求數(shù)列{c_n}的通項公式c_n；
（Ⅲ）求f（n）=

n

9

-

bn

cn

（n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a₁+a₅=a₂+a₄，結(jié)合d＞0，a₂•a₄=45可求a₂，a₄，進(jìn)而可求公差d，即可求解
（Ⅱ）由（I ）可求b_n=

1

4n(n+1)

，從而可得c₁=-

1

4

，c_n+1-c_n=

1

4n(n-1)

，利用累加法可求
（Ⅲ）結(jié)合（I）（II）可求f（n）=

n

9

+

1

n+1

，結(jié)合基本不等式可求f（n）的最小值

解答：（本小題10分）
解：（Ⅰ）因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
所以a₁+a₅=a₂+a₄=14．
因為d＞0，a₂•a₄=45
所以解方程組可得，a₂=5，a₄=9．（2分）
所以a₁=3，d=2．
所以a_n=2n+1．
因為S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d，
所以S_n=n²+2n．
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n+1，前n項和公式S_n=n²+2n．（4分）
（Ⅱ）因為b_n=

1

a 2 n -1

（n∈N^*），a_n=2n+1，
所以b_n=

1

4n(n+1)

．
因為數(shù)列{c_n}滿足c₁=-

1

4

，c_n+1-c_n=

1

4n(n-1)

，
所以c_n+1-c_n=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）．
c_n-c_n+1=

1

4

（

1

n+1

-

1

n

）
…
c₂-c₁=

1

4

（1-

1

2

）
以上各式相加得：c_n+1-c₁=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
因為c₁=

1

4

，
所以cn+1=-

1

4(n+1)

．
所以cn=-

1

4n

．（7分）
（Ⅲ）因為f（n）=

n

9

-

bn

cn

，b_n=

1

4n(n+1)

，c_n=-

1

4n

，
所以f（n）=

n

9

+

1

n+1

．
因為f（n）=

n

9

+

1

n+1

=

n+1

9

+

1

n+1

-

1

9

，
所以

n+1

9

+

1

n+1

-

1

9

≥2

n+1 9 • 1 n+1

-

1

9

f（n）≥

2

3

-

1

9

=

5

9

，當(dāng)且僅當(dāng)

n+1

9

=

1

n+1

，即n=2時等號成立．
當(dāng)n=2時，f（n）最小值為

5

9

．（10分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及求和公式的應(yīng)用，數(shù)列的累加求通項公式及基本不等式在求解最值中的應(yīng)用